INGENIEUR spécialité MATHEMATIQUES APPLIQUEES PAR APPRENTISSAGE

Programme:

Partie 1 : Rappels de calcul différentiel – CM : 2,5h, TD : 1,25h
• DL d’une fonction de plusieurs variables, gradient, matrice jacobienne, matrice hessienne, opérateur Laplacien  …
• Dérivation des fonctions composées 
• Formule de Green-Ostrogradsky, intégration par partie pour les fonctions de plusieurs variables

Partie 2 : Equations différentielles (EDO) – CM : 3,75h  - TD : 3,75h – TP : 7,5 h 
• Exemples de problèmes de physique, biologie, économie.. modélisés par des edo ou des systèmes d’edo 
• Notions théoriques essentielles sur les edo : existence et unicité locale et globale, stabilité 
•  Méthodes numériques pour les edo : méthodes de Runge-Kutta, méthodes multipas, cas des systèmes raides 

Partie 3 : Equations aux dérivées partielles (EDP) – CM : 17,5h – TD : 7,5 h – TP : 12,5 h  
• Exemples de problèmes de physique, biologie, économie.. modélisés par des edp ou des systèmes d’edp (linéaires et non-linéaires) 
• Classification et notions théoriques essentielles sur les EDP linéaires du 1er et du 2nd  ordre en espace et en temps : existence, unicité, estimation d’énergie, principe du maximum, valeur propre, mode propre, solution exacte par la méthode de Green et la méthode de décomposition modale
• Introduction aux méthodes de Différences Finies et Volumes Finis sur quelques problèmes modèles. Applications à travers des TP 

Partie 4 : Projet sur la résolution numérique d’un modèle EDP.  TD : 1,25h, TP : 5h

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-Tests non paramétriques : fonction de répartition empirique, test de Kolmogorov d'adéquation, tests de comparaison de deux échantillons (Kolmogorov-Smirnov et test de Wilcoxon), tests de normalité (Kolmogorov et Shapiro-Wilk)
-Tests du khi-deux d'ajustement, d'adéquation à une famille de loi, d'indépendance et d'homogénéité
-Modèle linéaire : estimation des paramètres (modèle régulier et singulier sous contraintes d'identifiabilité), intervalle de confiance pour les paramètres, intervalle de confiance pour la réponse moyenne, intervalle de prédiction, test de Fisher de sous-modèle, sélection de variables. Régression linéaire, ANOVA à un et deux facteurs, ANCOVA
-Modèle linéaire généralisé : inférence statistique, sélection de variables
  Régression logistique, modèle loglinéaire

Les TP et le projet seront effectués avec le logiciel R. 

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Nous discuterons sur tous les algorithmes des problèmes de complexité : Coût de calcul d'une itération et nombre d'itérations pour arriver à une précision cible.

Le cours se détaille en trois grands thèmes :

L'optimisation non-convexe et différentiable (25 h) 
-Globalisation des méthodes (Wolfe)
-Équations du premier ordre : Théorie de KKT
-Méthodes d'ordre 2 : L-BFGS
-Méthodes de gradient projeté

Optimisation stochastique (10 h) 
-Optimisation par Batch / Epoch
-Momentum

Optimisation convexe non-lisse (15 h) 
-Théorie du sous-gradient, transformée Legendre.
-Algorithmes proximaux (Splitting et Acceleration)

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Programme (contenu détaillé) :

- Introduction à l’exploration de données.
- Programmation en R et rédaction d’un rapport avec Rmarkdown 
- Méthodes factorielles : rappel de l’analyse en composantes principales (ACP). Variantes de l’ACP pour les données qualitatives (analyse des correspondances), la classification supervisée (analyse linéaire discriminante), les données définies par des distances (positionnement multidimensionnel)
- Méthodes de clustering : K-means et ses variantes, classification hiérarchique, DBSCAN, modèles de mélange et algorithme EM. 

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Anglais
- Analyse de résumés/articles scientifiques provenant de revues sur l'intelligence artificielle et les mathématiques afin de comprendre la structure et le contenu des résumés/articles, ainsi que les caractéristiques stylistiques/linguistiques de l'anglais scientifique.
- Analyse de posters scientifiques des projets de mathématiques pour comprendre ce qui fait un poster efficace. Les apprentis appliquent ces lignes directrices à leurs propres affiches.
- Révision des compétences de présentation, la prononciation et l'utilisation du vocabulaire technique.
- Compréhension écrite et expression orale à partir de documents (articles, podcasts, vidéos, etc.) relatifs aux enjeux éthiques des applications de l'IA.

Droit
- Organisation judiciaire française 
- Présentation des principes et des règles de droit régissant les entreprises individuelles et sociétaires. Étude  de la notion juridique de responsabilité tant civile que pénale. 
- Appliquer les règles présentées en cours et résoudre des situations juridiques simples. 
- Prise en compte des paramètres juridiques dans les fonctions d'ingénieur.

PPI
- Brainstorming pour définir les compétences clés de l'ingénieur
- État des lieux dans une perspective de stage
- Création du portrait-robot de l'ingénieur que je souhaite devenir
- Présentation du e-portfolio de compétences 
- Auto-évaluation de mes compétences
- Co-construction d'un plan d'actions pour gagner en compétences 

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I Analyse Hilbertienne

-Espaces de Hilbert, Exemples d'espaces de Hilbet : L^2, L^2 à poids
-Approximation : bases hilbertiennes, polynomes orthogonaux.
-Projection sur un convexe, Convergence faible.
-Analyse de Fourier et aspects algorithmique (FFT, Fourier à fenêtre, échantillonnage) : application au traitement du son, traitement des images.

II Ondelettes

-Ondelettes de Haar/Analyse MultiRésolution
-Autres types d¿ondelettes (1d, 2d) : application au traitement du son et des images
-Transformée en ondelettes, lien 
      coefficient/régularité

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Le but est d'introduire aux étudiants les technologies logicielles permettant le déploiement et l'exécution de calculs dans des infrastructures de type cluster (grappes de machines). De telles infrastructures sont très largement utilisées dans les domaines du cloud computing où des datacenters permettent l'hébergement externalisés de services, du big data et du machine learning pour le traitement et l'exploitation de grands volumes de données.

La première partie aborde les concepts et outils liés au cloud computing tels que la virtualisation (KVM), les conteneurs (Docker), les outils d'administration (OpenStack, Kubertenes) et les principaux services fournis par les opérateurs du cloud (AWS).
La seconde partie aborde les concepts et outils liés au big data tels que le traitement parallèle de données massives (Hadoop, Spark) et le traitement temps réel de données (Spark-streaming, Storm).

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- Programmation fonctionnelle :
o Fonction et composition de fonctions
o Types inductifs
o Filtrage
o Ordre supérieur
o Itérateur

- Théorie des graphes :
o Définitions et Concepts élémentaires
o Connexité
o Graphes Euleriens et Hamiltoniens
o Planarité et Coloration
o Structures de données
o Algorithmes de parcours

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Anglais
• Rédiger un reaction paper (commentaire argumenté), selon les conventions en vigueur, sur un sujet d’actualité.
• Organiser et participer à des debates (joutes oratoires), selon les conventions en vigueur, sur des sujets d’actualité.

Management Stratégique 
• Analyse des théories managériales ; Porter 5 force analysis, PESTEL analysis, Value Chain analysis, Hofstede cultural dimension, product lifecycle analysis, Kraljic analysis, etc.
• Recherche indépendante, rédaction de ‘micro-thèses’ et proposition de solutions, restitution sous forme de présentations en groupe.

Finance
Jeu sérieux « Challenge » : un jeu ludique de mise en situation sous forme de challenges.
• Niveau avancé axé sur la finance dans le cadre de de l'entrepreneuriat, du développement durable et de l'analyse du cycle de vie.  
• Identification du rôle de la finance dans les entreprises et dans la prise de décision.
• Prise en compte des paramètres financiers dans les entreprises.
• Analyse et identification du concept de l’actualisation.

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Ce cours est dédié aux méthodes d’apprentissage et en particulier les méthodes d’apprentissage profond, pour le traitement de données en grande dimension telles que des les images par exemple.

* Réseaux de neurones et introduction à l’apprentissage profond: définition des réseaux de neurones, fonctions d’activation, perceptron multicouches, algorithme de rétropropagation du gradient, algorithmes d’optimisation, régularisation.  

*  Réseaux de neurones convolutionnels : couche convolutionnelle, pooling, dropout, architecture des réseaux convolutionnels (ResNet, Inception), transfert d’apprentissage, applications à la classification d’images, la détection d’objet, la segmentation d’image, l’estimation de posture, etc. 

*  Réseaux de neurones récurrents : modélisation de séquences, neurone récurrent, rétropropagation à travers le temps, LSTM et GRU, applications au traitement du langage naturel et au traitement des signaux audio et vidéo 

*  Réseaux de neurones et 3D :  réseaux convolutifs 3D pour le traitement des données volumétriques (ex: IRM), réseaux PointNet et PointNet++ pour le traitement des nuages de points 3D (ex: LIDAR). 
 
* Apprentissage profond non-supervisé et modèles génératifs : Autoencodeurs, Auto-encodeurs variationnels (VAE) , Réseaux Génératifs Antagonistes (GAN) 

* Décomposition functionnelle sur des bases de Spline, Fourier , ondelettes ou ACP fonctionnelle Functional decomposition on splines, Fourier or wavelets bases: splines cubiques, critère des moindres carrés pénalisés, bases de Fourier, bases d’ondelettes, application en régression non paramétrique, estimateurs linéaires et non linéaires par seuillage, liens avec la méthode LASSO. ACP fonctionnelle. 

* Détection d’anomalies :  Principaux algorithmes : One Class SVM, Random Forest, Isolation Forest, Local Outlier Factor. Applications à la détection d’anomalies pour des données fonctionnelles. 

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Partie 1 : Analyse mathématique et principes de la méthode EF

CM : 10h, TD : 7,5h TP: 7,5h
   - Analyse (EDP elliptiques linéaires): solutions faibles, espaces de Sobolev Hm, théorie de Lax-Milgram.
   - Principe des EF : discrétisation, approximation,  implémentation, estimations d'erreur a-priori.
   - Courbes de convergence, validation codes de calcul. 
TP (Python-Fenics ou Julia) programmation algorithme d'assemblage.

Partie 2 : Modélisation et compléments EF
CM : 10h, TD : 5h, TP: 10h
   - Modélisation par EF (TP FreeFEM++ ou Python-Fenics).
Ex : écoulements géophysiques - hydraulique spatiale (ondes diffusantes : convection - diffusion non linéaire).
   - Compléments méthode EF
Terme de transport et stabilisation (ex : SUPG)
Termes non linéaires et linéarisations.
Raffinement de maillage - concept de estimateurs a-posteriori. TP Python-Fenics. 
   - Modèles réduits POD
Stratégie offline - online. TP Python-Fenics.

Partie 3 : Couplages de modèles et de codes de calcul.
CM : 7,5h TD : 3,75h TP :5h
   - Application de la modélisation EF au problème de l'élasticité
   - Couplage faible de domaines élastiques (pénalisation, mortar, Nitsche)
   - Notion d'interface non-conforme entre les domaines
   - Résolution itérative non-intrusive du couplage.
   - TP Python : calcul de la propagation d'une fissure avec utilisation de codes en boîtes noires.

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Métamodélisation
* Introduction : exemples d’applications
* Deux métamodèles célèbres : polynômes de chaos, processus gaussiens (krigeage)
* Simulation de processus gaussiens non conditionnels / conditionnels
* Prise en compte d’information métier et personnalisation de noyaux de covariance
* Optimisation assistée par métamodèle (optimisation bayésienne)
* Planification d’expériences numériques : focus sur les plans remplissant l’espace
* Analyse de sensibilité globale : focus sur la décomposition ANOVA (décomposition de Sobol)
* Application industrielle : quantification d’incertitudes.

Assimilation de données : approche séquentielle et ensembliste
* Introduction. Préliminaires (statistiques, conditionnement), méthodes Bayésiennes. 
* Estimation séquentielle et filtre de Kalman. Formalisation statistique pour un système dynamique observé, transfert d’optimalité et lien avec l’approche variationnelle, filtrage et lissage, filtre racine carrées et erreurs numériques, réduction de la dimension et filtres réduits.
* Estimation ensembliste. Erreur d’échantillonnage, derivation des principaux filtre/lisseurs stochastiques (EnKF) et deterministes (ETKF). Hyperparamètres (inflation, localisation).

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Programme (contenu détaillé) :

- Modélisation de la récurrence des pannes en Fiabilité ou des sinistres en Actuariat : définition et construction d'un processus de Poisson (homogène ou non homogène) ou de renouvellement, statistique inférentielle pour les processus de Poisson homogènes (estimation ponctuelle, intervalles de confiance et tests sur l'intensité). 

- Mathématiques et Apprentissage pour l'actuariat : étude des processus de Poisson composés et du modèle de Cramér-Lundberg, mesures de risques, algorithmes d'apprentissage pour les problèmes de tarification et de provisionnement. Introduction à la méthode de Monte-Carlo.

- Approfondissement par projet (au choix parmi les exemples ci-dessous, pouvant évoluer) :
a) Statistique pour la fiabilité des systèmes réparables : test d'homogénéité, Statistique inférentielle pour le processus de Weibull. 
b) Actuariat : modèles de type Cramér-Lundberg, processus de Hawkes et produits dérivés en assurance. 

- Communiquer la science en anglais : 
Pour se préparer à la soutenance de leur projet qui sera en anglais, les cours d'anglais comprendront : 
- Exercices individuels et en groupe sur l'anglais scientifique et le langage liés à leur projet, y compris la prononciation du vocabulaire clé, le langage informel et formel.
- Revue des techniques de présentations (aussi pour un public spécialisé et non spécialisé.
- Des réunions avec chaque groupe pour communiquer l'état d'avancement de leur recherche, leurs réalisations, les problèmes rencontrés et les prochaines étapes.
- Répétitions pour les soutenances : retour de l'enseignant 

Pour préparer le rapport en anglais : 
- Analyser des publications scientifiques dans leur domaine de recherche.
- Feedback des enseignants sur les versions préliminaires du rapport.

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Cette UF se compose de 3 parties : "Management d'équipe", "Psychologie Sociale et éthique" et PPI.
"Management d'équipe" et "Psychologie Sociale et éthique" travaillent sur le groupe/équipe comme objet d'analyse.
PPI travaille sur la projection et la posture professionnelles.

Programme:

- Notion de groupe, processus de décision, conflits, autorité, minorités actives, influences.
- Analyse des emplois, recrutement et GPEC, motivation au travail, rémunération, appréciation des salariés, formation, gestion des carrières, relations professionnelles, flexibilité des RH et contrats de travail.
- Échanges avec des professionnels.

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Identique fiche "Formation en entreprise 1"

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Programme (contenu détaillé) :
Partie 1. Assimilation de données : approche variationnelle
CM : 14h, TD : 5,25h TP : 17,5h
-Outils de base pour résoudre les problèmes inverses (avec exemples) : moindres carrés (linéaires, non linéaires), régularisation.  
-Principes de l’assimilation de données (variationnelle, séquentielle).  
-Analyse bayésienne.  
-Équivalences entre le filtre BLUE-Kalman, le MAP et l’assimilation variationnelle dans le cas linéaire-quadratique-gaussien.  
-Application à l'identification de modèles en mécanique expérimentale : (i) calcul des mesures à partir de l'enregistrement d'images et (ii) assimilation de données pour calibrer les lois constitutives. 
-Contrôle optimal des EDO. Cas linéaire-quadratique, principe du maximum, hamiltonien.  
Petit TP : contrôle optimal de la trajectoire d'un véhicule.  
-Contrôle optimal des EDP. Calcul du gradient, modèle adjoint, système d'optimalité.  
-Assimilation variationnelle des données (cas stationnaire et instationnaire). Algorithmes (3D-VAR, 4D-Var, variantes).  
- Exemples, aspects pratiques.  
- AD par  réseaux neuronaux informatisés par la physique (PINN). 
- TP : estimation de la bathymétrie d'une rivière à partir de mesures de la surface de l'eau (problème issu de l'hydrologie spatiale). 

Partie 2. Approche multifidélité 
CM : 5,25h, TD : 7h, TP : 1,75h
- Estimateurs Monte Carlo
- Outils d’analyse des estimateurs (erreur quadratique moyenne, biais, variance)
- Enjeux de l’estimation de statistiques de la sortie d’un simulateur haute fidélité (coût de calcul vs précision)
- Principes des approches multifidélité, exemples de simulateurs basse fidélité
- Méthode statistique des variables de contrôle
- Adaptation pour l’estimation multifidélité
- Allocation optimale (au sens de la variance) des échantillons sur les différents niveaux de fidélité.

Partie 3. Métamodélisation : étude de cas 
CM : 0 h, TD : 0 h TP : 14 h

- Etant donnés des simulateurs de différentes physiques, construire des modèles de substitution du système couplé ou des modèles de substitution de chaque discipline.
- Sélectionner le meilleur modèle de substitution selon des métriques de validation.
- Utiliser ces modèles de substitution pour un problème d’optimisation multidisciplinaire et interpréter les résultats.
- Utiliser ces modèles de substitution pour un problème d’analyse de sensibilité et interpréter les résultats.
- Utiliser ces modèles de substitution pour un problème d’optimisation multidisciplinaire sous incertitudes et interpréter les résultats.

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* méthode d'arnoldi pour construire les espaces de Krylov, solveur gmres,
* solveur de lanzcos, lien avec le gradient conjugué
* déflation et extraction d'informations spectrales (deflated CG, vecteurs de Ritz), séquence de systèmes linéaires, techniques pour le calcul des valeurs/vecteurs propres
* méthodes de décomposition de domaine (de Schwarz, de P.-L. Lions), étude théorique 1D et 2D, application au calcul parallèle
* méthodes multigrille géométrique, propriété de lis-sage, schéma V et FMG
* équivalence entre matrice creuse et graphe. Concept de remplissage et dépendances entre inconnus d'un problème creux (arbre d'élimination). Permutations de matrices permettant de réduire le remplissage. Complexité opératoire. Exploitation du parallélisme dans la factorisation de matrices creuses,
* architecture des supercalculateurs modernes (processeurs multi-coeurs, multiprocesseurs ou noeuds SMP et NUMA, accélérateurs GPU, réseaux d'interconnexion). Classification de Flynn. Hiérarchie des mémoires caches. Principes de localité spatiale et temporelle. Programmation parallèle en OpenMP: régions parallèles, directives de synchronisation, boucles parallèles, situations de compétition et tâches. Programmation parallèle en MPI: communications point à point et collectives, opérations de réduction et éventuellement optimisations. Analyse des performances: loi d'Amdahl, scalabilité forte et faible, modèle roof-line et calcul du chemin critique.

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Programme (contenu détaillé) :

- Méthodes de résolutions d'EDP à base de ML : approche data based, approche basée sur une discrétisation en grande dimension, principale structures de réseaux de Neurones, techniques de stabilisation en temps, augmentation de données, échantillonnage de la physique, méthodes basées sur la conservation de l'énergie totale

- Ré-écriture des méthodes pour l'assimilation de données en termes d'algorithmes de réseau récurrents à mémoire. Méthodes bayésiennes-variationnelles (BV)  basées sur les divergences de KL, de Jordan, de Wassertein.

- Amélioration (précision, vitesse) de techniques de discrétisation usuelles par ML et réduction d'espace par espaces latents variationnels.

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- Génie du Logiciel et des Systèmes
o Processus, Méthodes et Outils
o Méthodes Agiles
o Vérification et Validation
o Certification et Qualification
o Sûreté de fonctionnement
o Développement Dirigé par les Tests
o Développement Dirigé par les Modèles

- Modélisation, Résolution, Preuve
o Logique des propositions et des prédicats
o Termes et Induction structurelle
o Logique de Hoare
o Preuves de programme
o Logique modale
o Logique floue et probabiliste
o Programmation Logique Contrainte
o Résolution SAT/SMT

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Programme (contenu détaillé) :
Ce cours vise à familiariser les étudiants avec les différents outils et applications du machine learning qu'ils seront amenés à utiliser dans leur carrière professionnelle. Les participants auront l'opportunité de développer leurs compétences en matière de partage de code et de déploiement de modèles entraînés en production.
- Introduction à Pytorch
- Introduction à Git 
- Mise en production avec Docker
- Traitement du language
- Systèmes de recommendations
- Interpretabilité en machine learning

En somme, ce cours permettra aux étudiants de développer une expertise technique dans le domaine du machine learning, ainsi que les compétences nécessaires pour utiliser ces ´outils dans un contexte professionnel. Les connaissances acquises seront applicables dans de nombreuses industries et aideront les étudiants à répondre aux besoins de leurs futurs employeurs en matière de développement et de mise en œuvre de solutions basées sur le machine learning.

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Identique à fiche "Formation en entreprise 1"

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