ANALYSE NUMERIQUE ET STATISTIQUES

Il s’agira de présenter les différents développements de Taylor pour les applications entre deux espaces vectoriels de dimension finie. Seront notamment introduites les notions de matrice Hessienne, Jacobienne, de vecteur gradient.

Une taxonomie de problèmes d’optimisation sera présentée, permettant notamment aux étudiants de pouvoir situer leur problème par rapport aux outils théoriques et numériques permettant de résoudre les problèmes. Puis seront présentées les différentes relations que vérifient les extrema d’une fonction dérivable (gradient nul, inertie de la matrice Hessienne dans le cas sans contrainte), en insistant sur l ‘application rigoureuse des conditions nécessaires et suffisantes disponibles.  L’accent est donc mis sur la compréhension de la structure du problème et l’utilisation précise des conditions mathématiques. Le découpage suivant a été proposé :

1. Introduction classification des problèmes, convexité
2. Existence unicité, minimum local/global, conditions nécessaires suffisantes d’ordre 1 et 2.
3. Algorithmes d’optimisation basés sur Newton/Gauss-Newton/Gradient conjugué

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Dans ce cours, les étudiants traiteront:

- les équations elliptiques. Discrétisation de l’équation, consistance, stabilité convergence, le tout principalement en 1D. Le cas 2D sera abordé.

- les équations paraboliques.Discrétisation, consistance stabilité convergence. Schéma implicite et explicite.

- les équations hyperboliques. Présentation d’une discrétisation et de certaines de ses propriétés.

Les exemples traités seront issus des domaines d'intérêt du département EEEA (problème de la jonction PN, la propagation d'onde...)

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Compléments sur les vecteurs gaussiens. Introduction à la Statistique : l’échantillonnage aléatoire simple.

Les outils de calage d’un modèle ; estimation d’un paramètre, estimation sans biais de variance minimum, estimation par maximum de vraisemblance.

Tests d’hypothèses ; Test le plus puissant ; Test du rapport des vraisemblances.

Régression linéaire ; régression multilinéaire.

Programme

1er cours : Prise de contact ; Lois issues de la loi normales ; la moyenne et la variance.

2e cours : Bases de l’estimation ; l’estimation sans biais de variance minimum.

3e cours : Quantité d’information ; inégalité de Cramer-Rao ; maximum de vraisemblance.

4e cours : Fondements des tests d’hypothèses ; Lemme de Neyman et Pearson.

5e cours : Test du rapport des vraisemblances ;  Régression linéaire.

6e cours : Régression multilinéaire.

7e cours : Tests d’ajustement : tests du Chi2 et de Kolmogorov-Smirnov.

Travaux dirigés

TD 1 : Indépendance moyenne-variance, cas gaussien.

TD 2 : Estimation (1).

TD 3 : Estimation (2).

TD 4 : Tests d’hypothèses.

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Dans ce cours, les étudiants étudieront

- Equations elliptiques

Discrétisation et résolution de l'équation en 1D.  

Etude de consistance, stabilité et convergence en 1D.

- Equations paraboliques 

 Discrétisation et résolution, stabilité, consistance et convergence. 

 Schémas explicite, implicite, de Richardson et de Crank-Nicolson.

- Introduction aux Equations hyperboliques  

Présentation d'une discrétisation et de certaines de ses propriétés.

Les exemples seront issus du département EEEA (Jonction PN, électromagnétisme, ....).

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