OPTIMISATION DES SYSTEMES ET LEUR COMMANDE

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Ce cours présente les fondements théoriques et pratiques de la commande optimale appliquée aux systèmes dynamiques. Il introduit la formulation générale d’un problème de commande : dynamique du système, contraintes sur les états et les commandes, et définition d’un critère de performance. Les méthodes classiques sont étudiées en détail, notamment le principe du maximum de Pontryagin. Le cours aborde également des approches numériques telles que les schémas de tir, les méthodes directes ou indirectes. L’accent est mis sur l’interaction entre théorie, modélisation et calcul numérique, avec des exemples issus du contrôle en électromécanique. L’objectif final est de donner aux étudiants les compétences pour développer des méthodes numériques simples de résolution de problème de commande optimale.

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Ce cours s'intéresse à la modélisation et la résolution approchée ou exacte de problèmes de décision et d’optimisation combinatoire NP-difficiles rencontrés dans différents domaines.

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Ce TER permet d’illustrer les techniques d’optimisation (vues dans le cours d’optimisation continue N9EE17F et dans le cours de programmation linéaire N9EE17E) sur un exemple concret. Le cas d’étude proposé concerne un microréseau comportant une production d’énergie photovoltaïque associée à une batterie de stockage pour l’alimentation d’une charge résidentielle (foyer familial). L’objectif est de réduire le coût d’électricité du foyer en s’appuyant sur les tarifications heures creuses / heures pleines et en exploitant le degré de liberté offert par le stockage. Le benchmark proposé permet de tester différentes stratégies de planification des flux d’énergie sur 24H, issues de l’expertise (heuristiques, commandes à base de règles) ou de techniques d’optimisation : méthodes de type gradient, méthodes géométriques, métaheuristiques stochastiques (algorithmes génétiques, essaims particulaires, recuit simulé) ou programmation linéaire à variables mixtes (après linéarisation du problème).

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La programmation linéaire constitue l'outil fondamental de modélisation et résolution des problèmes d'optimisation en recherche opérationnelle, qui ont une grande importance pratique : problèmes d’affectation, transport, réseaux, production, etc.  Ce cours se limite aux problèmes avec variables continues. Le cas des variables binaires ou entières,  très courant en pratique, est traité dans le cours ''Optimisation Combinatoire'' pour lequel ce cours est un pré-requis.

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Ce cours dresse un bref état de l’art des méthodes d’optimisation pour la résolution de problèmes non-linéaires et continus. Les différents points abordés dans les différents chapitres concernent : 

-          La formulation d’un problème d’optimisation monobjectif (sans contraintes), les conditions d’optimalité, la classification des différentes méthodes permettant de traiter un problème ;

-          Les méthodes d’optimisation monodimensionnelles : subdivisions d’intervalles, interpolation quadratique, passage par zéro de la dérivée de la fonction objectif ;

-          Les méthodes d’optimisation à base de gradient : plus grande pente, gradient accéléré ou conjugué, techniques de Gauss-Newton ou Quasi-Newton ;

-          Les méthodes d’optimisation géométriques : à directions fixées ou adaptées au cours de la recherche (Gauss-Seidel, Powell, Hooke & Jeeves), Simplex de Nelder & Mead ;

-          Les méthodes d’optimisation stochastiques : recuit simulé, algorithmes évolutionnaires et méthodes de nichage, essaims particulaires ;

-          La formulation d’un problème d’optimisation sous contraintes d’inégalités : notion de Lagrangien, conditions d’optimalité de KKT, méthodes de pénalisation ;

-          La formulation d’un problème multiobjectif : optimalité au sens de Pareto, décision a priori sur les objectifs (objectifs pondérés, méthodes de la contrainte epsilon, méthode du critère global), décision a posteriori sur les objectifs (par utilisation d’algorithmes à base de population), techniques progressives ou séquentielles (méthode lexicographique).

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