SIGNAL-METHODES AVANCEES PARC. SIA

·         Les différentes classes de signaux

·         Rappel des représentations classiques (corrélations, densités spectrales)

·         Décomposition sur des bases de fonctions (Fourier, Haar, Hadamard, …)

·         Représentations temps-fréquence (Transformée de Fourier glissante, distributions d'énergie - classe de Cohen : Wigner-Ville,...)

·         Représentations temps-échelle (transformée en ondelette continue décompositions en ondelettes orthogonales, bi-orthogonales, frames, analyse multirésolution).

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·         Les différents problèmes traités : identification, inversion, annulation de bruit, prédiction

·         Filtre optimal de Wiener

·         Algorithme du gradient stochastique

·         Filtre optimal au sens des moindres carrés

·         Algorithme des moindres carrés récursifs

·         Algorithme de Kalman

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La partie initiale du cours comprend des rappels en algèbre linéaire (décomposition spectrale, décomposition en valeurs singulières) et en probabilités et statistiques (vecteur aléatoire, matrice de covariance, moments empiriques), ainsi qu’une introduction au problème d’approximation de rang faible d’une matrice. Ensuite, nous donnons une formulation statistique à la technique d’analyse en composantes principales (PCA), et puis nous étudions ses propriétés et les aspects pratiques liés à son utilisation. Enfin, nous introduisons le problème d’analyse en composantes indépendantes (ICA), pour ensuite décrire quelques approches classiques (maximisation de la kurtosis, maximisation de la néguentropie, minimisation de l’information mutuelle) et des algorithmes basiques qui en découlent.

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Plan du cours

·        Exemple introductif : déconvolution de signaux parcimonieux

◦    modélisation direct

◦    inversion naïve et solutions des moindres carrés

◦    régression parcimonieuse (MP, OMP)

·        Caractérisation des problèmes inverses

◦    problèmes mal-posés

◦    conditionnement

◦    solutions basés sur la SVD

·        Régularisation/pénalisation

◦    formulation pénalisées et contraintes

◦    régularisations de Tikhonov

◦    régularisation parcimonieuses

·        Formulation probabiliste

◦    inversion et estimation

◦    cas linéaire gaussien

◦    régularisation bayésienne

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